残念ながら名義が違う場合には、乗り換えはできません。
以下のページにも注意事項として「現在契約中の名義と楽天モバイルでご契約いただく名義が同一であることが必要」とあります。
もし「家族名義でご家族が契約、楽天IDやメールアドレスは他の人のもの」を使用したいという趣旨のご質問だったとしたら、私は平気なような気はするのですが、他の回答者からのご意見も確認してほしいです。
他社から電話番号そのままで乗り換え（MNP）
https://network.mobile.rakuten.co.jp/guide/mnp/?l-id=support_top2_search
