tedさま

大変有益な情報を頂きありがとうございます。全く同じ様な状況でいらしたとのことで、自分の環境特有のせいで動かない訳では無かったとホッとしました。

どうやらアプリとOSバージョンとの相性の問題のようですので、MacOSはそのままにしておこうと思います。と言いますのも以前使っていたMacbook air (mid 2012) がOSのバージョンアップをするたびにどんどん重くなってしまって後悔しましたもので。

Sonomaにすれば問題なく動作するということが分かりましたので精神的にスッキリしました。当方はMacでのデスクトップ版アプリはキッパリと諦めて、デスクトップ版を使いたい場合はWindowsで利用することに致します。

大変参考になりました。ありがとうございました。

追伸

その後（と言いますか、このコミュニティと同時進行で）、楽天モバイルコミュニケーションセンターに症状を伝えて回答を待っていましたが、長いやりとりの後にMacのバージョンを上げずに解決できました。

（以下、解決につながった楽天モバイルコミュニケーションセンターからの回答）
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▼お試しいただきたい操作

1,Rakuten Linkアプリをアンインストール
2,ダウンロードフォルダ内に以下フォルダが存在する場合は、それらを削除
　　「LinkMedia」、「LikDownloads」
3,フォルダパス/Users/「MacにログインしたID」/Library/Logs/　以下に
　　"RakutenL Link"フォルダがある場合はそれを削除
4,Linkアプリを再度インストールいただき動作確認
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（以上、関係する箇所のみ抽出）

この項目１，３，４は質問前に何度も試していましたが、項目２は試したことがありませんでした。
今回、この項目２を実行することで、解決へと繋がりました。

さらに問い合わせしたところ「LinkMedia」及び「LikDownloads」はメッセージ機能にてダウンロードされたファイルが格納されるそうで、画像・音声ファイル等はLinkMediaフォルダに、それ以外の添付ファイル（txtファイルやzipファイル等）はLinkDownloadsフォルダに格納されるとのことでした。ちなみにこれらのフォルダは不具合時も現在も空です。

以上、同様な症状でお困りの方への一助となればと思い、追記させていただきました。
同様な症状に対して一律にこの対処で解決するという訳でもないかもしれませんが、その際はご容赦ください。