上手く行かないときは、一旦ｍｙ楽天モバイルを閉じて再度開いてから「URLをコピーする」を実施してください。

残念ながら、URLコピーをいくら押しても、アプリを再度立ち上げてもペーストできないのです😭

そうでしたか。
端末再起動とか、my楽天モバイルのログアウト＆ログインで変化はありませんか？
あとはmy楽天モバイルアプリではなく、ブラウザのmy楽天モバイルでもお試しください。下記の様な感じでコピーできます。
https://portal.mobile.rakuten.co.jp/dashboard#home

端末は何をお使いですか？

ご丁寧にありがとうございます。
iPhone15に昨日機種変更をしたばかりです。
再起動、データ通信のon off等現時点でできる限りのことを行いましたが何をやってもコピペはできません。
そもそもですが、昨日時点で最強家族プログラムの表示すら出ていませんでしたので、まだ何かしらのエラーがあるのかと思う次第です。
長文、失礼しました。

こんばんは、途中から失礼します。私は本日夕方にmy楽天モバイルアプリを開いたところ、画面にアプリの更新の案内が表示されました。

アプリ更新後に、やっと家族プログラムの内容が表示されてグループの作成もできましたよ。

ヨシヒコさん
私もiPhone 13(iOS 17.2.1)のmy楽天モバイルアプリとブラウザ(Safari)のmy楽天モバイルの両方試しましたが、どちらでも招待用リンクを正常にコピーできました。

もし以前のiPhoneをWi-Fiで使えるなら、そちらでも試してみてはいかがでしょうか。楽天モバイルアプリはアップデートが必要です。