当方、楽天Payは使ってるけど、edyは使っていません。それでも、楽メールは使えていますよ。変ですね。楽天edyアプリにログインしただけで、モバイル通信をどんどん消費することはありません。立ち上げて、いろんな情報を閲覧すると多少消費しますね。
ご心配でしたら、設定＞アプリ＞楽天Edy と進んで、モバイルデータ使用量をチェック。バックグラウンド通信を「オフ」にしておきましょう。使い勝手悪くなるけど。