スマホやIDは変えずに名義だけ変えたいのですが、どうすればいいですか？

スマホは変えなくていいですが、楽天IDと名義は一対ですので、「IDは変えずに名義だけ変更」はできません。息子さんの楽天IDを新規に作ってください。支払いカードまたは口座の名義はお父様のものでも構いません。

IDの事ですが、もうGmailのアドレスは息子のものを登録していまっているので、新しいIDをどのGmailアドレスで新規作成すれば分からないのですが、どうしたら良いでしょうか？

楽天IDを既にGmailアドレスで作られているのなら、その楽天IDをお使いになればOKです。
お二人で別の楽天IDにすることが大事です。

下記で楽天IDと登録内容をご確認ください。きしなはさんの楽天IDでログイン中の場合は、一旦ログアウトしてから確認してください。
https://my.rakuten.co.jp/

親のIDに息子のGmailアドレスを登録していまったんですけど、それでも同じIDを使うことは出来ないんですか？できない場合はどうすれば良いですか？

楽天ID-1と楽天ID-2のメールアドレスは異なるものでないといけません。
きしなはさんのGmailアドレスもありますよね？それを使われたらいかがですか？

私のも楽天会員に登録してるんですが。

楽天IDが3つあるんですか？楽天IDが2つならアドレスは2つで足りるはずですよね。
まあ、無料IDならyahooでもMicrosoftでも作れるので、新たにアドレスを作られたらいかがでしょうか。

今、親の名義ですが、IDは息子の名前を使っています。名義変更の時に新しいIDを作る必要があると思いますが、そのIDはメールアドレスは違えど息子の名前を再度使ったら違反になるんですよね？

親御さんのアカウントに使われているのですね。違反と言うか、同じアドレスではエラーになるはずです。
別のGmailアドレスまたは他のメールアドレスを取得して使ってください。

ひとつの名前で2つのIDは作れないんですよね？

はい、楽天IDは規約で一人ひとつとなっています。作ろうと思えば作れますが、発覚した時に問題になります。

https://network.mobile.rakuten.co.jp/faq/detail/10000244/
複数の楽天IDを作成／保有することは禁止しております。詳細は楽天会員規約をご確認ください。

であれば新しいIDは誰の名前を使ったらいいのでしょうか？

なぜ新しいIDが必要なのですか？実際に利用される方の名前(ID)でご契約ください。
同じ名前(ID)で複数回線契約することは全く問題ありません。

名義変更の時IDも変える必要があるんですよね？

今3人の楽天IDがあるのですよね？
「親から息子に名義変更をしたい」のであれば、御子息の楽天IDにされればよいのではないですか？その楽天IDで使っているアドレスが本来は親御さんのものであっても関係ありません(楽天は関知しません)。

楽天に乗り換えた時、どうせ名義変更するからといって、息子のIDを使って契約していまいました。そうしてしまったため、息子に名義変更をする時、誰のIDを連携させれば良いか分からないんです。

息子のIDを使って契約

それならすでに御子息の名義になっているのではありませんか？名義変更の必要はないでしょう。

契約者情報のご契約者名は親なんです。

契約者名と楽天IDは紐づいています。楽天モバイルの名義変更するとき、「どの [契約者名・楽天ID] を選びますか？」と言うことなので、契約者名と楽天IDを別々に選ぶことはできません。

話が堂々巡りのようですが、契約に関する話なので楽天モバイルのサポートにご相談ください。
1ユーザーの私では一般論でしかアドバイスできません。申し訳ありません。