丁寧な説明有難うございます。
早速検討してみます。
ただ、何かの書き込みにショートメールがYahooメールに着信するとか？

ショートメールがYahooメールに着信するとか？
これは知りませんでしたが、もし真実だとしてもYahoo!メールがデフォルトのSMSアプリを設定で変更でするだけで解決します。

何かの書き込みにショートメールがYahooメールに着信するとか？

Y! mobile 販売の端末は「 Y! mobile メール」アプリがプリインストールされていて、このアプリ１つで Y!mobile メール（ xxx@yahoo.ne.jp）、MMS（ xxx@Ymobile.ne.jp ）、SMS（SIM カードの電話番号）の３つを見れるようになっており（最新版だと「＋メッセージ」対応していたかと）、デフォルトのアプリに設定されているため「ショートメールが Y! mobile メール」アプリで受信するからでしょう。

別途メッセージアプリをインストールして、それをデフォルトに設定しなおせば変更できます。

少し前の Y! mobile メールアプリからバックアップ機能で SMS の内容も保存できるようになっているため、機種変更後前の Y! mobile 端末で Y! mobile メールアプリのバックアップを作成、機種変更後の Y! mobile 端末でリストアして使う事も可能です。
SMS メッセージアプリでバックアップ・リストアが出来ない場合は、機種変更の際に旧端末で受信した SMS はスクリーンショットで保存するなどの対策も必要になるかと。

添付の画像は Y! mobile Android One S8 のものですが、Y! mobile 販売端末の Android One S2 や AQUOS wish A104SH でもプリインストールされており同様の動作になっていました。

有難うございます。