移動する方法はありません。
グループに登録された連絡先で削除したいものを長押しで選択して、ゴミ箱アイコンをタップします(下の画像)。元の連絡先自体は削除されません(グループに登録されているのはエイリアスです)。この後で別のグループにその連絡先を登録します。
削除→登録、登録→削除のどちらの順番でも構いません。