それもしましたが、できませんでした。その他、端末の再起動やキャッシュクリア等をやってもできなかったです。妻の名義で契約しているのですが、クレジットカードは家族カードで支払っています

奥様名義なら支払い方法に関係なく、最強家族プランにできるはずです。
奥様がリーダーとなって、たくぽんさんがメンバーになる方法はいかがでしょうか。

そちらも試してみたのですが、できませんでした。自分がXperia、妻がiphoneというのが原因ですか？

お使いの機種は関係ありません。
最強家族プランのグループが上手く組めないと言う話は時々あります。
my楽天モバイルアプリではなく、ブラウザのmy楽天モバイルから試すとどうなりますか？
ログインされていないときはログインしてください。その後、右上≡の一番上「my楽天モバイル」をタップします。
https://portal.mobile.rakuten.co.jp/plans