タップしてもメールは1件も表示されなく、スーター付きにメールはありませんと表示されます。「送信済み」「下書き」にもスーター付きにメールがないこを確認済です。不思議です。

そうなんですね。
Linkアプリの情報で「キャッシュクリア」してみたら直るかもしれません。
あとは任意のメールに☆を付けると「スター付き」は5件になるか、試してみてください。数値の更新で直って1件に戻ることが期待できます。
どちらも効果が無ければ申し訳ありません。

「キャッシュクリア」してもだめでした。任意のメールに☆を付けると「スター付き」は5件になり、☆をはずすと残念ながら４件になってしまいます。

全滅でしたね、申し訳ありません。あとはLinkアプリの再インストールです。メールは残るはずですが、通話の履歴は消えてしまいますので、直る保証もないためやらない方がいいと思います。
これは想像ですが、楽天モバイルのメールサーバー側に問題がある可能性がありますので、楽天モバイルのサポートにチャットか電話で調査を依頼してみてください。
https://network.mobile.rakuten.co.jp/support/inquiry/

いろいろとありがとうございました。